วันจันทร์ที่ 25 กันยายน พ.ศ. 2560

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์



แผนภาพออยเลอร์ (อังกฤษ: Euler diagram) เป็นแผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่าง ๆ โดยให้วงกลมแต่ละวงแทนแต่ละเซต และแสดงความสัมพันธ์ของแต่ละเซตด้วย การครอบซึ่งแสดงความเป็นสับเซต การทับซ้อนกัน หรือการไม่ทับซ้อนกันซึ่งแสดงว่าทั้งสองเซตไม่มีความสัมพันธ์กัน ลักษณะแผนภาพวงกลมเช่นนี้เชื่อว่าถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสนามว่า เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ แผนภาพออยเลอร์นั้นมียังลักษณะคล้ายคลึงกันกับแผนภาพเวนน์มาก ในทฤษฎีเซตซึ่งเป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงนิยมใช้แผนภาพประยุกต์จากแผนภาพทั้งสองในการอธิบายเซตต่าง ๆ ให้เข้าใจได้ง่ายยิ่งขึ้น

แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มีความสำคัญมากในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับโจทย์ปัญหาของเซต เน้นที่การหาจำนวนสมาชิกของเซตภายใต้เงื่อนไขที่กำหนดให้ ซึ่งเราสามารถแก้ปัญหาการหาจำนวนสมาชิกของเซตโดยทั่วไป 2 วิธีคือ 1. ใช้แผนภาพเวนน์ออยเลอร์ และ 2. การใช้สูตร























            การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

               เราจะวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กหนด แสดงว่าสมเหตุสมผล ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผล โดยจะใช้การอ้างเหตุผลโดยตรรกบทของตรรกศาสตร์เข้ามาตรวจสอบ 

ข้อความที่ใช้อ้างเหตุผลมีอยู่ 4 แบบหลักๆ คือ (1-4) และอีก 2 แบบเพิ่มเติม คือ (5-6) ดังนี้


   
             ในการใช้แผนภาพเพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผล จะต้องวาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จะได้ว่า  ข้อสรุปนั้น สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่ไม่สอดคล้องกับผลสรุปแล้ว ผลสรุปนั้นจะไม่สมเหตุสมผล

                           ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่
                                    เหตุ       นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี
                                                  ตุ๊กตาสุขภาพดี

                                     ผล        ตุ๊กตาเป็นนักกีฬา

                                              กำหนดให้ H แทนเซตของคนที่มีสุขภาพดี
                                                                S แทนเซตของนักกีฬา



                        ตัวอย่างที่ 2   จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่
                                    เหตุ      เด็กไทยทุกคนเป็นคนดี
                                                เจ้าจุกเป็นคนไทย
                                    ผล       เจ้าจุกเป็นคนดี

  
เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้ดังนี้

  ดังนั้นข้อสรุปที่กล่าวว่าเจ้าจุกเป็นคนดี  สมเหตุสมผล

                                ตัวอย่างที่ 3    จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่
                                         เหตุ     นกทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก
                                                     เป็ดทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก
                                         ผล      นกทุกตัวเป็นเป็ดชนิดหนึ่ง



                        จาก 4 กรณีข้างต้น จะเห็นว่า นกและเป็ดต่างก้อเป็นสัตว์ปีก แต่เราสรุปไม่ได้แน่นอน  นกเป็นเป็ดชนิดหนึ่ง
                        ดังนั้น ข้อนี้สรุปไม่สมเหตุสมผล...


แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์เป็นแผนภาพที่ใช้ในการอธิบายความสัมพันธ์ของเซตต่าง ๆ โดยให้วงกลมแต่ละวงแทนแต่ละเซต และแสดงความสัมพันธ์ของแต่ละเซต รูปภาพจะช่วยให้เราสรามารถค้นหาคำตอบได้ง่ายขึ้น





อ้างอิง




http://aoamporn.blogspot.com/2013/09/blog-post.html

เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:

วันอาทิตย์ที่ 24 กันยายน พ.ศ. 2560

ตรรกศาสตร์เบื้องต้น


ความหมายของศัพท์ตรรกศาสตร์

คำว่า “ตรรกศาสตร์” ได้มาจากศัพท์ภาษาสันสฤตสองศัพท์ คือ ตรฺรก และศาสตฺร ตรรก หมายถึง การตรึกตรอง ความคิด ความนึกคิด และคำว่า ศาสตฺร หมายถึง วิชา ตำรา รวมกันเข้าเป็น“ตรรกศาสตร์” หมายถึง วิชาว่าด้วยความนึกคิดอย่างเป็นระบบ ปราชญ์ทั่วไปจึงมีความเห็นร่วมกันว่า ตรรกศาสตร์ คือ วิชาว่าด้วย การใช้กฎเกณฑ์
การใช้เหตุผล

วิชาตรรกศาสตร์นั้นมีนักปราชญ์ทางตรรกศาสตร์ได้นิยามความหมายไว้มากมาย นักปราชญ์เหล่านั้น คือ 
1.พจนานุกรมศัพท์ปรัชญาอังกฤษ – ไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน นิยามความหมายว่า“ตรรกศาสตร์ คือ ปรัชญาสาขาที่ว่าด้วยการวิเคราะห์และตัดสินความสมเหตุสมผลในการอ้างเหตุผล” 
2.กีรติ บุญเจือ นิยามความหมายว่า “ตรรกวิทยา คือ วิชาที่ว่าด้วยกฎเกณฑ์การใช้เหตุผล”
3.”Wilfrid Hodges” นิยามความหมายว่า “ตรรกศาสตร์ คือ การศึกษาระบบข้อเท็จจริงให้ตรงกับความเชื่อ” 
ประพจน์ (Proposition)
     ประพจน์ คือ ประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จเพียงอย่างเดียวเท่านั้น 

ประโยคเหล่านี้อาจจะอยู่ในรูปประโยคบอกเล่าหรือประโยคปฏิเสธก็ได้ 
      
ประโยคต่อไปนี้เป็นประพจน์ 
จังหวัดชลบุรีอยู่ทางภาคตะวันออกของไทย ( จริง ) 
5 × 2 = 2 + 5 ( เท็จ ) 

ตัวอย่างต่อไปนี้ไม่เป็นประพจน์ 
โธ่คุณ ( อุทาน ) 

กรุณาปิดประตูด้วยครับ ( ขอร้อง ) 

ท่านเรียนวิชาตรรกวิทยาเพื่ออะไร ( คำถาม ) 
      
ประโยคเปิด (Open sentence)
บทนิยาม ประโยคเปิดคือ ประโยคบอกเล่า ซึ่งประกอบด้วยตัวแปรหนึ่งหรือมากกว่าโดยไม่เป็นประพจน์ แต่จะเป็นประพจน์ได้เมื่อแทนตัวแปรด้วยสมาชิกเอกภพสัมพัทธ์ตามที่กำหนดให้ นั่นคือเมื่อแทนตัวแปรแล้วจะสามารถบอกค่าความจริง
ประโยคเปิด เช่น
1.เขาเป็นนักบาสเกตบอลทีมชาติไทย
2. x + 5 =15
3. y < - 6
ประโยคที่ไม่ใช่ประโยคเปิด เช่น
1.10 เป็นคำตอบของสมการ X-1=7
2.โลกหมุนรอบตัวเอง
3.จงหาค่า X จากสมการ 2x+1=8

ตัวเชื่อม (connective)

1. ตัวเชื่อมประพจน์ ” และ ” ( conjunetion ) ใช้สัญลักษณ์แทน Ùและเขียนแทนด้วย P Ù Qแต่ละประพจน์มีค่าความจริง(truth value) ได้ 2 อย่างเท่านั้น คือ จริง(True) หรือ เท็จ(False) ถ้าทั้ง P และ Qเป็นจริงจะได้ว่า PÙQ เป็นจริง กรณีอื่นๆ P Ù Q เป็นเท็จ เราให้นิยามค่าความจริงP Ù Q 
โดยตารางแสดงค่าความจริง (truth table) ดั้งนี้



P
Q
P Ù Q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
F

ตัวอย่าง 5+1 = 6 Ù 2 น้อยกว่า 3 (จริง) 
5+1 = 6 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 น้อยกว่า 3 (เท็จ)
5+1 = 1 Ù 2 มากกว่า 3 (เท็จ)

2. ตัวเชื่อมประพจน์ ” หรือ ” ( Disjunction ) ใช้สัญลักษณ์แทน V และเขียนแทนด้วย P V Q และเมื่อ P V Q
จะเป็นเท็จ ในกรณีที่ทั้ง P และ Q เป็นเท็จเท่านั้น กรณีอื่น P V Q เป็นจริง เรา 

ให้นิยามค่าความจริงของ P V Q
ตัวอย่างตารางค่าความจริง ดังนี้

P
Q
P V Q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
ตัวอย่าง 5 + 1 = 6 V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)

              5 + 1 = 6 V 2 มากกว่า 3 (จริง)

              5 + 1 = 1V 2 น้อยกว่า 3 (จริง)

  
              5 + 1 = 1V 2 มากกว่า 3 (เท็จ)
3. ตัวเชื่อมประพจน์ “ ถ้า….แล้ว” Conditional) ใช้สัญลักษณ์แทน ® และเขียนแทนด้วยP®Q
นิยามค่าความจริงของ P®Q โดยแสดงตารางค่าความจริงดังนี้

P
Q
P®Q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
ตัวอย่าง 1 < 2 ® 2 < 3 (จริง) 1 < 2 ® 3 < 2 (เท็จ) 2 < 1 ® 2 < 3 (จริง) 
2 < 1 ® 3 < 2 (จริง)
4. ตัวเชื่อมประพจน์ “ก็ต่อเมื่อ” (Biconditional) ใช้สัญลักษณ์แทน « และเขียนแทนด้วยP«Q 
นั้นคือ P«Q จะเป็นจริงก็ต่อเมือ ทั้ง P และ Q เป็นจริงพร้อมกันหรือทั้ง P และ Q เป็นเท็จพร้อมกันตารางแสดงค่าความจริงของ P«Q

P
Q
P«Q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
F
T

ตัวอย่าง 1 < 2 « 2 < 3 (จริง) 
1 < 2 « 3 < 2 (เท็จ) 
2 < 1 « 2 < 3 (จริง) 
2 < 1 « 3 < 2 (เท็จ)
5. นิเสธ (Negation) ใช้สัญลักษณ์แทน ~ เขียนแทนนิเสธของ Pด้วย ~P ถ้า P เป็นประพจน์นิเสธของประพจน์ P คือประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงข้ามกัน P
ตารางแสดงค่าความจริงดั้งนี้

        P
~P
T
F
F
T
ตัวอย่าง ถ้า p แทนประโยคว่า "วันนี้เป็นวัน เสาร์" นิเสธของ p หรือ ~p คือประโยคที่ว่า "วันนี้ไม่เป็นวันเสาร์"
สัจนิรันดร์ (Tautology) และความขัดแย้ง (Contradiction)
1. สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ที่มีรูปแบบเป็นสัจนิรันดร์ เรียกว่า ประพจน์สัจนิรันดร์ (Tautology statement)ตัวอย่างที่ 1 P® PvQเป็นสัจนิรันดร์ เราสามารถพิสูจน์ได้หลายวิธี

         P
                 
            Q
                  
         P v Q
  
P® PvQ
        T
        T
        F
        F
            T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
จากตารางแสดงค่าความจริงไม่ว่า P และ Q จะเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม ประพจน์ P® PvQ เป็นจริงเสมอ ดังนั้นประพจน์นี้เป็น สัจนิรันดร์
2.ความขัดแย้ง (Contradiction) คือ รูปแบบประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็นเท็จเสมอโดยไม่ขึ้นอยู่
กับค่าความจริงของตัวแปรของแต่ละประพจน์ย่อยประพจน์ที่มีรูปแบบ เป็นความขัดแย้ง เรียก
ว่า ประพจน์ความขัดแย้ง (Contradicithon statement)
ตัวอย่าง P ^ ~P เป็น ความขัดแย้ง ตารางแสดงค่าความจริง


p
~P
P ^ ~P 
T
F
F
T
F
F


      






P ^ ~P มีค่าเป็นเท็จ สำหรับทุกๆ ค่าความจริงของ P 
ดังนั้น P ^ ~P จึงเป็นความขัดแย้ง (Contradicithon )

ทฤษฎีตรรกสมมูล (Logical Equivalences)
ความรู้ประพจน์ตรรกะสมมูล (Logical equivalent statement)มีประโยชน์มาก

สำหรับการหาข้อโต้แย้งและข้อสรุปในทางคณิตศาสตร์ ซึ่งในทางปฏิบัติแล้ว

การสรุปเหตุผลในแต่ละรูปจะยุ่งยากมากหากไม่อาศัยทฤษฎี ตรรกะสมมูลใน

การกล่าวอ้าง ดังนั้นจึงสรุปทฤษฎีตรรกะสมมูลไว้สำหรับใช้อ้างอิงต่อไป
กำหนดให้ p , q , r แทนประพจน์ใดๆ t แทนสัจนิรันดร์ c แทนความขัดแย้ง
1. กฎการสลับที่ (Commutative laws)
p ^ q = q ^p , p ^ q = q v p 
2. กฎการเปลี่ยนหมู่ (Associative laws)
(p ^ q) ^r = p ^ (q ^ r) , (p ^ q) v r = p v (q ^ r)
3. กฎการแจกแจง (Distributive laws)
p ^ (q v r) = (p ^ q) v ( p ^ r) , 

p v (q ^ r) = (p v q) ^ ( p v r)

4. กฎเอกลักษณ์ (Identity laws)
p v t = t , p ^ t = p
5. กฎนิเสธ (Negative laws)
p v ~p = t , p ^ ~ p = c
6.กฎนิเสธซ้อนนิเสธ (Double negative laws)
~(~p) = p
7. กฎนิจพล (Idempotent laws)
p ^p = p , p = p
8. กฎของเดอมอเกน (demerger’s laws)
~(p ^q) = ~p v ~q , ~(p v q) = ~p v ~q
9. กฎการจำกัดขอบข่าย (Universal bound laws)
p v t = t , p ^ c = c
10. กฎการซึมซับ (Absorption laws)
p v (p ^ q) = p , p ^ (p v q) = p
11. นิเสธของ c และ t
~t = c , ~c=t

ตัวบ่งปริมาณ(Quantified statement)

ตัวบ่งปริมาณในตรรกศาสตร์ มี 2 ชนิด คือ
           

1) ตัวบ่งปริมาณ "ทั้งหมด" หมายถึงทุกสิ่งทุกอย่างที่ต้องการพิจารณาในการ

นำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกับ "ทั้งหมด" ได้ ได้แก่ "ทุก"   

"ทุก ๆ" "แต่ละ" "ใด ๆ" ฯลฯ เช่น คนทุกคนต้องตาย, คนทุก ๆ คนต้องตาย, 

คนแต่ละคนต้องตาย, ใคร ๆ ก็ต้องตาย
          
2) ตัวบ่งปริมาณ "บาง" หมายถึงบางส่วนหรือบางสิ่งบางอย่างที่ต้องการ

พิจารณา ในการนำไปใช้อาจใช้คำอื่นที่มีความหมายเช่นเดียวกันได้ ได้แก่ 

"บางอย่าง" "มีอย่างน้อยหนึ่ง" เช่น สัตว์มีกระดูกสันหลังบางชนิดออกลูกเป็น

ไข่, มีสัตว์มีกระดูกสันหลังอย่างน้อยหนึ่งชนิดที่ออกลูกเป็นไข่

ค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวบ่งปริมาณ
  

1.∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อ x ทุกตัวในเอกภพสัมพัทธ์ทำให้ P(x) เป็นจริง
  2. ∀x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อมี x อย่างน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นเท็จ
  3. ∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นจริง เมื่อมี x อย่าน้อย 1 ตัวที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
  4.∃x[P(x)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ เมื่อไม่มี x ใดๆ ในเอกภพสัมพัทธ์ที่ทำให้ P(x) เป็นจริง
การให้เหตุผล (Reasoning)โดยทั่วไปกระบวนการให้เหตุผลมี 2 ลักษณะคือ
1.การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการให้เหตุ โดยนำข้อความที่กำหนดให้ ซึ่งต้องยอมรับว่าเป็นจริง ทั้งหมด เรียกว่า เหตุ และข้อความจริงใหม่ที่ได้เรียกว่า ผลสรุป ซึ่งถ้า พบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้ แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวสมเหตุสมผล แต่ถ้าพบว่าเหตุที่กำหนดนั้นบังคับให้เกิดผลสรุปไม่ได้แสดงว่า การให้เหตุผลดังกล่าวไม่สมเหตุสมผล
ตัวอย่าง เหตุ 1. คนทุกคนต้องหายใจ
                     2 . นายเด่นต้องหายใจ 
ผลสรุป         นายเด่นต้องหายใจ
จะเห็นว่า จากเหตุที่1 และเหตุที่ 2 บังคับให้เกิดผลสรุปดังนั้นการให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผลสมเหตุสมผล
2.การให้เหตุผลแบบอุปนัย เป็นการให้เหตุผลโดยอาศัยข้อสังเกตหรือผลการทดลองจากหลายๆตัวอย่าง มาสรุปเป็นข้อตกลง หรือข้อคาดเดาทั่วไป หรือ คำพยากรณ์และจะต้องมีข้อสังเกต หรือ ผลการทดลอง หรือ มีประสบการณ์ที่มากพอที่จะปักใจเชื่อได้ แต่ก็ยังไม่สามารถแน่ใจในผลสรุปได้เต็มที่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบนิรนัย
ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย เช่น เราเคยเห็นว่ามีปลาจำนวนมากที่ออกลูกเป็นไข่ เราจึงอนุมานว่า “ปลาทุกชนิดออกลูกเป็นไข่ ” ซึ่งกรณีนี้ถือว่าไม่สมเหตุสมผล ทั้งนี้เพราะข้องสังเกตหรือ ตัวอย่างที่พบว่ายังไม่มากพอที่จะสรุป เพราะโดยข้อเท็จจริงแล้วมีปลาบางชนิดที่ออกลูกเป็นตัว เช่น ปลาหางนกยูง เป็นต้น
ตัวอย่างความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลโดย

ตัวอย่างที่ 1 เหตุ 1 : คนทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา


                    เหตุ 2 : ตำรวจทุกคนเป็นคน

ผลสรุป ตำรวจทุกคนเป็นสิ่งที่มีสองขา 


จากเหตุ 1 


จากเหตุ 2


แผนภาพรวม



จากแผนภาพจะเห็นว่า วงของ " ตำรวจ " อยู่ในวงของ " สิ่งมี 2 ขาแสดง " แสดงว่า " ตำรวจทุกคนเป็นคนมีสองขา " ซึ่งสอดคล้องกับผลสรุปที่กำหนดให้ ดังนั้น การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล
การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล


ตัวอย่างที่ 1 เหตุ จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง
                                                                            

                            1เป็นจำนวนอตรรยะ                                                         

                     ผล   1เป็นจำนวนจริง


พจน์กลาง คือ จำนวนอตรรกยะ กระจายในข้อตั้งแรก ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล
   
ตัวอย่างที่ 2 เหตุ คนไทยทุกคนเป็นผู้ที่ยิ้มแย้มแจ่มใส
                             ชาวปากเซเป็นคนยิ้มแย้มแจ่มใส
                      ผล ชาวปากเซเป็นคนไทย

พจน์กลาง คือ คนยิ้มแย้มแจ่มใส เป็นพจน์ไม่กระจาย ตรรกบทดังกล่าวจึง

ไม่สมเหตุสมผล


อ้างอิง

กีรติ บุญเจือ.2520 . ตรรกวิทยาทั่วไป.กรุงเทพฯ: ไทยวัฒนาพานิช.จำนงค์ ทรงประเสริฐ.2507. ตรรกศาสตร์.กรุงเทพฯ: เลียงเซียง.ประยงค์ แสนบุราณ. ตรรกศาสตร์เบื้องต้น.ขอนแก่น: วิทยาลัยขอนแก่น.พกสูตรเข้าสอบ คณิต ม.ปลาย พิมพ์ครั้งที่ 7 ปทุมธานี : สกายบุ๊กส์, 2551.สุวร กาญจนมยูร.2523. ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์.กรุงเทพฯ: ไทยวัฒนาพานิช.










เขียนโดย ที่ ไม่มีความคิดเห็น:
สมัครสมาชิก: บทความ (Atom)